Una nota sobre el principio de contracción de Banach en b-espacios métricos: https://doi.org/10.5281/zenodo.5728134 - Akkouchi, Mohamed (Divulgaciones Matemáticas, 2021)
Sea $(X, d; s)$ un espacio $b$-métrico completo con el parámetro $s \geq 1$. Sea $ T $ un mapa contractivo en $ X $, que es un automapa $ T $ de $ X $ satisfactorio$$ d (Tx, Ty) \leq \lambda d (x, y), \, \forall x, y \in X, \eqno (B_ {\lambda}) $$con algo de $ \lambda \in [0, 1) $. En 1989, Bakhtin estableció un principio análogo al principio de contracción de Banach en el contexto de espacios $b$-métricos completos. Precisamente, demostró que si $ \lambda \in [0, \frac{1}{s})$, entonces $T$ tiene un punto fijo único. El objetivo de esta nota es dar una prueba simple del principio de contracción de Banach en $X$ para todos los $\lambda \in [0, 1)$. Entonces, en particular, brindamos algunos complementos al resultado de Bakhtin. Establecemos una desigualdad de contracción fundamental para $T$ y la usamos para probar la convergencia de las secuencias de Picard. Para tales secuencias, damos una evaluación del orden de convergencia y una estimación del error a posteriori. Estimamos el diámetro de las órbitas $T$. Como aplicaciones, deducimos dos reglas de parada que indican el número suficiente de iteraciones del proceso Picard que permite una aproximación satisfactoria para el punto fijo de $T$.